博士SEの研究ノート

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飯塚の個人HPです。数値計算やシステム開発のトピックを中心に発信していきます。

新着投稿

テレビ in 子供部屋

気付き風呂場で技術書は読まないほうが良い。教養となる知識や新しい視点を与えてくれるような本を読むべき。読書本土を育てる　自然をよみがえらせる土壌革命 | ゲイブ・ブラウン読んだ範囲第1章絶望からの出発（25-35頁）内容昨日書いた内容と重複するため、ありません。その他（備考、出来事）日中、子供がいる部屋にテレビを設置しました。これでアンパンマンとか手遊び歌の動画を子供に見せることが簡単になります。年末年始に実家に帰っていたとき、テレビでアンパンマンの手遊び歌を流してあげたらすごくウケがよかったんですよね。テレビがいつでも見られるようになったことで子供の満足度も上がるに違いない！ダイエットの件です。本日は何故か700g増量していました。間食していないのに…。筋トレの成果が出て、逆に体重が増えたのだと思いたい。

pageview 101 2ヶ月前

ジム行かなくてもよかったかも

気付き世の中は理不尽・不条理が普通であるという前提があるらしい。それに基づけば確かに、一見厳しいことをいう人が一番優しいということになる。読書本土を育てる　自然をよみがえらせる土壌革命 | ゲイブ・ブラウン読んだ範囲はじめにいちばんの師（1-25頁）内容土の健康に欠かせない5つの原則は以下の通り。 1. 土をかき乱さない機械的、化学的になるべくかき乱さない。土壌の構造や肥沃な土を作り出す土壌生物たちの棲家を壊さないようにするため。 2. 土を覆う土が覆いかぶさっている状態が自然では正常な状態。風や水による土壌流出を防ぎ、土壌生物のエサや棲家を作る効果がある。 3. 多様性を高める自然界に単一の品種のみが生えている場所は存在しない。多様な品種が存在することが普通である。 4. 土のなかに「生きた根」を保つ年間を通して根を保つことで土壌生物のエサとなる炭素が供給され、土壌生物が植物のエサとなる養分を作り出せる。 5. 動物を組み込む動物に植物を食べさせることで養分の循環が促進される。動物の呼吸を通して大気から多くの炭素を吸収し、地中に固定できるので、気候変動にも強い土壌となる。その他（備考、出来事）また少し時間が空きました。すみません。先日書いたように、体重が増えたので筋トレと有酸素運動を再開しました。以前までジムに通っていたのですけど、子供が生まれると通う余裕がないですね。3日前から3日おきに腕立て・背筋・スクワットと、毎日足上げ腹筋・20分のエアロバイク（心拍数は150～160を目安にキープする）を自宅でやり始めました。妻が昔買ったエアロバイクがあったのでちょうどよかった。有効活用させてもらいます。あと読書の項目に書いた本について。ビッグスワンで行われた昨シーズンのTSUTAYAサンクスデー（何の試合だったかは忘れました）で、アルビの選手・監督のおすすめの本が紹介されていました。「土を育てる」は松橋力蔵監督のおすすめの本として紹介されていた本です。組織の風土作りに通ずるものがありそうで、読んでいて参考になります。

pageview 120 2ヶ月前

あけまして（遅）

あけましておめでとうございます（遅）すみません。年末年始とバタバタしていて更新が一切できていませんでした。本日からまた当サイトの更新をしていきます。何卒よろしくお願いします。簡単に近況報告を。年末、妻がインフルエンザにかかりまして、一昨日まで子供を連れて実家に避難していました。万が一子供がインフルエンザにかかって後遺症でも残ったら大変ですからね…。いやぁ、子供がかからなくて本当に良かったです。インフルエンザ、本当に流行っているらしいですね。皆様もお気をつけて…。そして、実家にいた影響で私は食べ過ぎてしまいました。一時は最大6kgも太ってしまいましたが、今はもう少し落ち着いて4kg増です。人生でこんな体重になったのは初めて。歳を感じます。食事制限とちょっとした運動を毎日やることにしました。睡眠時間は大事です。今日はもう寝ます。では。

pageview 97 2ヶ月前

お酒の力の必要性

本日の気付きお酒の力を借りることでできる話があると思っています。それは間違いではないですが、大切な話はお酒を飲んでするべきではないです。少なくとも私の場合は。本日の読書本経営の教科書ー社長が押さえておくべき30の基礎科目ー | 新将命読んだ範囲第5章目標に向かってともに進める社員がいるか（182-186頁）内容社員の評価については結果を出すまでのプロセスをどの程度考慮するかを考えなければならない。社長の評価については結果がすべてである。社員の評価と処遇について、定量評価と定性評価をどのくらいの比重（6:4、7:3等）で考慮するかを明確化する必要がある。定量評価とは、何を成し遂げたかという結果に対する数字的評価のことをいう。定性評価とは、どのような取り組みをしたかというプロセスに対する質的評価のことをいう。管理部門は売り上げに対する結果を直接生むことはないが、社員という社内顧客にサービスを提供している。したがってサービスを受ける立場にある他部署の社員から評価を受ける制度を設けるとよい。設けた評価制度は社内サービスの質を向上させていき、社内顧客満足度を高めていくことに繋がらなければならない。査定の目的は、部下のやる気を高め、会社に対して大きな貢献ができるようになってもらうことである。その他昨日は会社の忘年会がありました。お酒が回って記事の投稿どころではありませんでした、すみません。お酒の力でまじめな話をしようとしましたが、ちょっと失敗しました。本気でぶつかることが前提でまじめな話をするなら、むしろお酒の力は邪魔になります。お酒を飲むメリットは自分に勢いをつけられることですが、それが必要ないような状況であれば、ただ頭の働きが悪くなるだけでいいことがないからです。今後に繋げられる、いい教訓が出来ました。

pageview 101 3ヶ月前

React始めました

本日の気付きちょっとでも我慢するのは良くない。積み重なれば必ず限界が来るときが来る。本日の読書本 TypeScriptとReact/Next.jsでつくる実践Webアプリケーション開発 | 手島拓也、吉田健人、高林佳穂読んだ範囲 3 React/Next.jsの基礎（149-174頁）内容 sec/main.tsx内のcreateRoot関数に配置先となるHTMLElementを渡してrootオブジェクトを取得する。rootオブジェクトに対するrenderメソッドの引数に配置するreactコンポーネント/要素を渡すと、それらが画面に描画される。 src/components/[コンポーネント名].tsxにコンポーネント名と同じ名前の関数を宣言し、宣言した関数は外部から呼べるようにexportしてやる。関数内部ではreact要素をreturnするようにする。必要に応じて振る舞いを表す関数を関数ない関数として宣言する。その他 reactのプロジェクト、作れました。create-react-appではなく、viteでプロジェクトの作成をしたところ、問題なくできました。根本的な解決にはなってないかもしれないけれど...まあいいです。勉強していて、reactのことを好きになれそうです。こういうものが欲しかった、という感じ。HTMLとCSSの保守性の悪さを、コンポーネント指向という考え方及びそれを実現する技術によって解決しています。もっと早く出会いたかったかも。

pageview 107 3ヶ月前

サンタ来る

本日も簡易的に。サンタさんが来てプレゼントを置いていきました。朝起きて見せると子供は目もくれず（分かっていましたけどね）。プレゼントの中身は、対象年齢が少し上のおもちゃなので、まだ興味がないみたいです。どちらかというと、プレゼントの中身よりもプレゼントの包装の方がお気に入りのようでした。夢中になって包装で遊ぶ姿はかわいいですが、目を離さないようにしないと。知らないうちに包装の紐が首に巻き付いていたりしたら怖い。話が変わります。育児の隙間時間にVSCode上でReactの環境構築をしてみたのですが、エラーが発生してReactプロジェクトが作成できず。時間が限られていたのでトラブルシューティングが満足にできていません。何が原因なのかは明日以降改めて調べていきます。それと、React+WebAPIによるアプリケーション構築について調べている途中で知ったことがありました。JuliaはCだけでなく、Fortranのコードも呼び出すことができるのですね。もし今までに書いた私のFortranコードがJuliaから呼び出せるのであれば、数値計算のシステムを手軽に作れるかもしれません。面白そうです。ただ、Juliaは一度学習を中断しているんですよね。確か構造体の、メンバに対する値の代入仕様が気に入らなかったことが理由だったはず。言語のコンセプトとしてはすごくいいなぁと思うんですが、こう、かゆいところに手が届かない感じが惜しい。当時から言語仕様がアップデートされているかもしれないので、もう一度最新バージョンに対する仕様を見てみて、使いたいと思えば使うことにしようかな？もしくは、バックエンドの処理は全てFortranで書いてしまい、フロントエンドだけJuliaに任せるのもいいか…？でもそうするとJuliaを使う意味があまりないような気がしてしまいます…うーん…。

pageview 102 3ヶ月前

学習対象をFlutter→Reactとします

連日簡易的ですみません。サンタさんがプレゼントを置いていきました。我が家のクリスマスツリーの下にプレゼントがありますよ。子供の反応が楽しみです、反応ないかもしれないけど… 以下、全然関係ない話です。先日、DartとJavascriptの実行速度の違いを調べてみるという話をしました。調べてみたところ、実行速度にそこまで大きな違いはなさそうでした。そうするといよいよ、FlutterではなくReactを学んだ方がよさそうです。ということで、Flutterの学習を中断し、Reactの勉強に移行します。Dartと違ってJavascriptならある程度書き方が分かるので、学習コストが下がります。助かる。それにしても、Javascriptって意外と速いんですね。例えば、次の記事では各言語の実行速度をライプニッツの公式による円周率の計算によって計測しています。【11種言語比較】プログラミング言語の”処理速度”を考える https://plainprogram.com/processing-speed-of-program/ インタプリタ型の言語だからPythonと同じくらい遅いのかと思っていました。何故速いかというと、その鍵はJITコンパイルにあるようです。ChromeやNode.jsで用いられているJavascriptのエンジン「V8」ではJITコンパイル（ソースコードの実行時にするコンパイル）が行われており、そのおかげで速いとのこと。ということは、処理を関数にまとめて繰り返し用いるようなコードを書くと更に高速化が見込めるというわけですね。 JITコンパイラといえば、先日Python3.13でも追加されましたね。まだ実験的に導入した段階とのことで、そこまで実行速度は出ないことが予想されます（あまりよく調べていないので、実は速いのかもしれません…）。JITコンパイルが行われるJavaやJavascriptでこれだけの速度が出ている現状を考えると、Pythonもそのうちもっと高速化するのでしょうね。そうなると、いよいよ弱点らしい弱点が静的型付でないくらいになりますね。すごいなぁ、Pythonは。

pageview 99 3ヶ月前

クリスマスパーティー

今日は本当に疲れた...もう体力の限界なので簡易的な日記でご容赦を。今日は妻の友人の家でクリスマスパーティーをしてきました。うちの子供と妻の友人のお子さんのためのイベントです。クリスマスパーティーって楽しくていい思い出になりますからね。子供達はよく笑っていました。クリスマスパーティーそのものを楽しんでくれていたかは分かりませんが、楽しそうで何よりでした。向こうのお子さんにサンタさんから代わりに預かってきたプレゼントを渡したところ、楽しそうに遊んでいて嬉しかったです。さて、明日は我が家にもサンタさんが来ますよ。我が子よ、楽しみに待っているがいい。ふはは。

pageview 96 3ヶ月前

今年のM-1レベル高

本日の気付き物事の構造として最も効率的かつ効果的なものは再帰的構造なのではないかという仮説。今のところ反例が思いつかない。この仮説を裏付ける情報の獲得を目的として、フラクタル（図形の部分と全体が自己相似になっている幾何学の概念）を勉強してみると面白いかも…なんて思ったり。本日の読書明日朝早い関係で今日は時間がないので、後日まとめます。その他今年のM-1グランプリは非常にレベルが高かった。令和ロマン、連覇すごいですね！漫才のクオリティが別格である上に、引き出しも多い。これは納得の結果です。決勝ラウンドまで進めなかったけれど、2本目のネタを見たいと思えるコンビがほとんどでした。例えばエバース、面白かったなぁ。あと真空ジェシカがM-1過去一面白かった。来年も期待しています。

pageview 87 3ヶ月前

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【フーリエ変換】粒子数演算子の実空間→波数表示

概要粒子数演算子について、実空間→波数表示するときのフーリエ変換の計算についてまとめます。尚、整理する表式に軌道自由度は考慮されていません。各種演算子の定義粒子の生成消滅演算子サイト（単位胞） \(i\) 、スピン \(\sigma\) の粒子に対する生成消滅演算子について、フーリエ変換を以下のように定義します。 $$ \begin{align} c_{i\sigma} &= \frac{1}{\sqrt{N}} \sum\limits_{ {\boldsymbol{k}} } { e^{i{\boldsymbol{k}} \cdot {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}}c_{{\boldsymbol{k}}\sigma} } \label{citock} \tag{1} \\ c_{i\sigma}^{\dagger} &= \frac{1}{\sqrt{N}} \sum\limits_{ {\boldsymbol{k}} } { e^{-i{\boldsymbol{k}} \cdot {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}}c_{{\boldsymbol{k}}\sigma}^{\dagger} } \label{cdagitocdagk} \tag{2} \\ \end{align} $$ ここで \({\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}\) はサイト \(i\) に対する結晶の基本並進ベクトル、\({\boldsymbol{k}}\) は結晶運動量（波数ベクトル）、\(N\) はサイトの数です。粒子数演算子サイト \(i\) 、スピン \(\sigma\) の粒子数演算子は以下のように与えられます。 $$ \begin{align} {\hat{n}}_{i\sigma} = c_{i\sigma}^{\dagger}c_{i\sigma} \label{ni} \tag{3} \end{align} $$ これのフーリエ変換を以下のように定義します。 $$ \begin{align} {\hat{n}}_{i\sigma} = \frac{1}{N} \sum\limits_{ {\boldsymbol{q}} } { e^{i{\boldsymbol{q} \cdot {\boldsymbol{R}}_{i}}}{\hat{n}}_{{\boldsymbol{q}}\sigma} } \label{nitonq} \tag{4} \end{align} $$ 計算の詳細 \eqref{ni}に\eqref{citock}\eqref{cdagitocdagk}を代入します。 $$ \begin{align} {\hat{n}}_{i\sigma} &= c_{i\sigma}^{\dagger}c_{i\sigma} \\\\ &= \frac{1}{\sqrt{N}} \sum\limits_{ {\boldsymbol{k}} } { e^{-i{\boldsymbol{k}} \cdot {\boldsymbol{R}}_{i}}c_{{\boldsymbol{k}}\sigma}^{\dagger} \frac{1}{\sqrt{N}} \sum\limits_{ {\boldsymbol{k'}} } { e^{i{\boldsymbol{k'}} \cdot {\boldsymbol{R}}_{i}}c_{{\boldsymbol{k'}}\sigma} } } \\\\ &= \frac{1}{N} \sum\limits_{ {\boldsymbol{kk'}} } { e^{i\left( {\boldsymbol{k'}} - {\boldsymbol{k}} \right) \cdot {\boldsymbol{R}}_{i}}c_{{\boldsymbol{k}}\sigma}^{\dagger}c_{{\boldsymbol{k'}}\sigma} } \label{fromhere} \tag{5} \end{align} $$ ここで波数ベクトルについて和を取る変数の変換 \({\boldsymbol{k'}} \rightarrow {\boldsymbol{k'}} + {\boldsymbol{q}}\)を行い、\({\boldsymbol{k'}}\) の代わりに全ての \({\boldsymbol{q}}\) について和を取るものとします。すると\eqref{fromhere}は、 $$ \begin{align} &\frac{1}{N} \sum\limits_{ {\boldsymbol{kk'}} } { e^{i\left( {\boldsymbol{k'}} - {\boldsymbol{k}} \right) \cdot {\boldsymbol{R}}_{i}}c_{{\boldsymbol{k}}\sigma}^{\dagger}c_{{\boldsymbol{k'}}\sigma} } \\ &= \frac{1}{N} \sum\limits_{ {\boldsymbol{kq}} } { e^{i{\boldsymbol{q}} \cdot {\boldsymbol{R}}_{i}}c_{{\boldsymbol{k}}\sigma}^{\dagger}c_{{\boldsymbol{k}} + {\boldsymbol{q}}\sigma} } \\ &= \frac{1}{N} \sum\limits_{{\boldsymbol{q}}} { e^{i{\boldsymbol{q}} \cdot {\boldsymbol{R}}_{i}} \sum\limits_{{\boldsymbol{k}}} { c_{{\boldsymbol{k}}\sigma}^{\dagger}c_{{\boldsymbol{k}} + {\boldsymbol{q}}\sigma} } } \label{comparedwithnitonq} \tag{6} \end{align} $$ \eqref{comparedwithnitonq}と\eqref{nitonq}を比較して以下を得ます。 $$ \begin{align} {\hat{n}}_{{\boldsymbol{q}}\sigma} = \sum\limits_{{\boldsymbol{k}}} { c_{{\boldsymbol{k}}\sigma}^{\dagger}c_{{\boldsymbol{k}} + {\boldsymbol{q}}\sigma} } \label{nq} \tag{7} \end{align} $$ まとめ生成消滅演算子、粒子数演算子のフーリエ変換の定義に基づいて粒子数演算子の表式を導き、整理しました。

pageview 159 5ヶ月前

【フーリエ変換】重なり積分項の実空間→波数表示

概要一体ハミルトニアンの重なり積分項を実空間→波数表示する際の式変形の詳細がどの教科書にも載っていないように思えるのでまとめてみました。重要なことは、異なる2つのサイトの和を工夫して取ることです。大学院に上がりたてのM1の人を想定して記事を書いています。背景と目的一体ハミルトニアンの重なり積分項を、 $$ \begin{align} H &= \sum\limits_{ ij }{ t_{ij}c_{i}^{\dagger}c_{j} } \label{start} \tag{1} \\ &= \sum\limits_{ \boldsymbol{k} }{ t_{\boldsymbol{k}}c_{\boldsymbol{k}}^{\dagger}c_{\boldsymbol{k}} } \label{goal} \tag{2} \end{align} $$ のように実空間→波数表示する際の式変形の詳細が、意外とどの教科書にも書いていないように思えます。おかげでM1のときの私は非常に困りました。重なり積分項に留まらず、このような形の式変形は他でもよく出てくるので（例えばハイゼンベルグ模型等）是非押さえておきたいところです。また上式のように、議論において本質的でない量子数（スピン等）は省略して書きます。式変形の詳細生成消滅演算子に対するフーリエ変換の定義まずは生成消滅演算子のフーリエ変換を定義します。 $$ \begin{align} c_{i} &= \frac{1}{\sqrt{N}}\sum\limits_{\boldsymbol{k}}{ e^{i{\boldsymbol{k}}\cdot{\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}}c_{\boldsymbol{k}} } \label{c} \tag{3} \\ c_{i}^{\dagger} &= \frac{1}{\sqrt{N}}\sum\limits_{\boldsymbol{k}}{ e^{-i{\boldsymbol{k}}\cdot{\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}}c_{\boldsymbol{k}}^{\dagger} } \label{cdag} \tag{4} \end{align} $$ ここで\( {\boldsymbol{R}_{i}} \)はサイト（単位胞）\( i \)に対する結晶の基本並進ベクトル、\( \boldsymbol{k} \)は結晶運動量（波数ベクトル）、\( N \)は単位胞の数です。重なり積分項へ代入 \eqref{start}へ\eqref{c}\eqref{cdag}を代入して計算していきます。 $$ \begin{align} H &= \sum\limits_{ij}{t_{ij}c_{i}^{\dagger}c_{j}} \\\\ &= \sum\limits_{ij}{t_{ij}\frac{1}{\sqrt{N}}\sum\limits_{\boldsymbol{k}}{{e^{ - i{\boldsymbol{k}} \cdot {{\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}}}}c_{\boldsymbol{k}}^{\dagger} } \frac{1}{\sqrt{N}}\sum\limits_{{\boldsymbol{k'}}}{{e^{i{\boldsymbol{k'}} \cdot {{\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}}}}}{c_{{\boldsymbol{k'}}}}} } \\\\ &= \frac{1}{N}\sum\limits_{{\boldsymbol{kk'}}}{\sum\limits_{ij}{{t_{ij}}{e^{ - i{\boldsymbol{k}} \cdot {{\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}}}}{e^{i{\boldsymbol{k'}} \cdot {{\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}}}}}c_{\boldsymbol{k}}^\dagger {c_{{\boldsymbol{k'}}}}} } \label{continue} \tag{5} \end{align} $$ ここまでは分かるけど…という感じですよね（少なくとも自分はそうでした）。ここから計算を進めるポイントは、サイトの和の取り方を工夫することです。サイトの和の取り方を工夫してみる今、サイトに関する和は\( i, j \)の2つについて取ることになっていますが、これは全ての\( {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}, {\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}} \)について和を取ることに等価です。先に結論を言うと、この\( {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}, {\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}} \)についての和を\( {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}, {\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}}-{\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}} \)の和に置き換えてあげると計算がうまくいきます（理由は後述）。図で示すと以下のようになります。図1. 和の取り方の変更。家の住所に例えます。隣合った家が2件あったとして、それぞれの住所をともに「○○県××市～」と書いて表現するのが\( {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}, {\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}} \)について和を取ること、一方の家の住所を「○○県××市～」と書いてもう一方の家の住所を「一方の家の隣」と表現するのが\( {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}, {\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}}-{\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}} \)について和を取ることに相当します。どちらも正しく家の場所を伝えられますよね。何故計算がうまくいくか？上述したような和の取り方をすると何故計算がうまくいくのでしょうか？答えは重なり積分\( t_{ij} \)のサイト依存性にあります。実は、\( t_{ij} \)は\( {\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}}-{\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}} \)にのみ依存し、\( {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}, {\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}} \)そのものには依存しません。これは重なり積分の定義から次のように分かります。 $$ \begin{align} t_{ij} &= \int{d{\boldsymbol{r}} \phi^{*}\left( {\boldsymbol{r}} - {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}} \right) H \phi\left( {\boldsymbol{r}} - {\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}} \right)} \\ &= \int{d{\boldsymbol{r}} \phi^{*}\left( {\boldsymbol{r}}\right) H \phi\left( {\boldsymbol{r}} + {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}} - {\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}} \right)} \\ &\propto {\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}} - {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}} \end{align} $$ 1→2行目では積分変数の置換をしています。この性質を利用すると\( {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}} \)の和の外に\( t_{ij} \)を出すことができ、計算が進められるのです。計算の続き以上で書いた和の置き換えを\( \sum_{ij} \)→\( \sum_{i, i-j} \)と表現します。和を置き換えた上で指数関数の肩に\( {\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}}-{\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}} \)を作るような式変形をすることで\eqref{continue}の続きを計算しましょう。 $$ \begin{align} &\frac{1}{N}\sum\limits_{{\boldsymbol{kk'}}}{\sum\limits_{ij}{{t_{ij}}{e^{ - i{\boldsymbol{k}} \cdot {{\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}}}}{e^{i{\boldsymbol{k'}} \cdot {{\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}}}}}c_{\boldsymbol{k}}^\dagger {c_{{\boldsymbol{k'}}}}} } \\ &= \frac{1}{N}\sum\limits_{{\boldsymbol{kk'}}}{ \sum\limits_{i, i-j}{ e^{i{\boldsymbol{k}} \cdot {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}}e^{i{\boldsymbol{k'}} \cdot \left( {\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}} - {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}} \right)} }e^{i{\boldsymbol{k'}} \cdot {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}}c_{\boldsymbol{k}}^{\dagger}c_{\boldsymbol{k'}} } \\ &= \frac{1}{N}\sum\limits_{{\boldsymbol{kk'}}}{ \sum\limits_{i, i-j}{ e^{i{\boldsymbol{k'}} \cdot \left( {\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}} - {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}} \right)} }e^{i\left( {\boldsymbol{k'}} - {\boldsymbol{k}} \right) \cdot {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}}c_{\boldsymbol{k}}^{\dagger}c_{\boldsymbol{k'}} } \\ &= \sum\limits_{\boldsymbol{kk'}}{ c_{\boldsymbol{k}}^{\dagger}c_{\boldsymbol{k'}} \frac{1}{N}\sum\limits_{i}{ e^{i\left({\boldsymbol{k'}} - {\boldsymbol{k}}\right) \cdot {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}}\sum\limits_{i - j}{ t_{ij}e^{i{\boldsymbol{k'}} \cdot \left( {\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}} - {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}} \right)} } } } \\ &= \sum\limits_{\boldsymbol{kk'}}{ c_{\boldsymbol{k}}^{\dagger}c_{\boldsymbol{k'}} \delta\left( {\boldsymbol{k'}} - {\boldsymbol{k}} \right)\sum\limits_{i - j}{ t_{ij}e^{i{\boldsymbol{k'}} \cdot \left( {\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}} - {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}} \right)} } } \\ &= \sum\limits_{\boldsymbol{k}}{ t_{\boldsymbol{k}}c_{{\boldsymbol{k}}}^{\dagger}c_{{\boldsymbol{k}}} } \end{align} $$ 1→2行目では指数関数の肩が\({ \boldsymbol{R_{\mathit{j}}}} - {\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}} \)に比例する形になるように変形し、2→3行目ではその変形の辻褄を合わせるために生まれた因子を元々あった指数関数の因子とまとめて書いています。3→4行目では\( t_{ij} \)が\( {\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}} - {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}} \)だけの関数であることを利用して\( \sum_{i} \)の外に出しています。すると5行目のように\( i \)に依存する部分はデルタ関数となり、目的の式\eqref{goal}が得られます。ここで $$ \begin{align} t_{\boldsymbol{k}} = \sum\limits_{i - j}{ t_{ij}e^{-i{\boldsymbol{k}} \cdot \left( {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}} - {\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}} \right)} } \label{tk} \tag{6} \end{align} $$ です。まとめサイト\( i, j \)の和の取り方を工夫することが重要でした。具体的には、\( {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}, {\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}} \)についての和を\( {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}, {\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}} - {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}} \)についての和に置き換えることで計算がうまくいきます。

pageview 149 5ヶ月前

理想量子気体に対する熱力学量の計算【統計力学】

概要系の熱力学量を数値計算で求める際に必要な表式を整理します。グランドカノニカルアンサンブルで理想量子気体に対する大分配関数を計算し、統計力学の一般的な関係式に代入することで熱力学量の表式を導きます。前提となる状況の整理ある同種の粒子が \( N \) 個ある系を考えます。これらの粒子の間に相互作用が働かないものとして、系の熱力学量を計算していきましょう。粒子間に相互作用が働かないので、各粒子は互いに影響を及ぼさずにそれぞれ独立に動くことができます。この各粒子の運動が量子状態 \( r \) （一粒子状態と呼ぶ）で指定されるものとしておきましょう。さらに量子力学では同種の粒子を区別できません。したがって系全体の量子状態 \( \eta \) は、各一粒子状態にある粒子数の組 \( \left\{ n_{r} \right\} = \left( n_{1}, n_{2}, \cdots \right) \) を指定することで決まります。すなわち、系全体のエネルギー \( E_{\eta} \) は $$ \begin{align} E_{\eta} = \sum\limits_{ r }{ \varepsilon_{r}n_{r} } \tag{1} \label{energy} \end{align} $$ ここで \( \varepsilon_{r} \) は一粒子状態 \( r \) のエネルギー、 \( n_{r} \) は一粒子状態 \( r \) にある粒子の数です。\( n_{r} \) を使うと \( N \) は、 $$ \begin{align} N = \sum\limits_{ r }{ n_{r} } \tag{2} \label{particlenum} \end{align} $$ と表すことができます。理想量子気体に対する大分配関数の一般式を計算する以上で見たように、一粒子状態 \( r \) の粒子数が一定でない状況を考えるので、グランドカノニカルアンサンブルを考えると便利です。グランドカノニカルアンサンブルの大分配関数は次のように計算されます。 $$ \begin{align} \Xi = \sum\limits_{ N=0 }^{ \infty }{ \sum\limits_{ \eta }{ \exp{\left[ -\beta\left( E_{\eta} - \mu N \right) \right]} } } \tag{3} \label{partial} \end{align} $$ ここで \( \beta \) は \( k_{\rm B} \) をボルツマン定数、\( T \) を温度として \( \beta = k_{\rm B}T \)、\( \mu \) は化学ポテンシャルです。\eqref{energy}\eqref{particlenum}を\eqref{partial}に代入し、\( \eta \) を \( \left\{ n_{r} \right\} \) と書き直すと、 $$ \begin{align} \Xi = \sum\limits_{ N=0 }^{ \infty }{ \sum\limits_{ \left\{ n_{r} \right\} }{ \exp{\left[ -\beta\sum\limits_{ r }{ \left(\varepsilon_{r} - \mu\right)n_{r} } \right]} } } \end{align} $$ 一瞬、ここからどうやって計算しようか迷ってしまいそうですが、実は \( N \) と \( \left\{ n_{r} \right\} \) の和を同時に取っているおかげで、これらの和を\( n_{1}, n_{2}, \cdots \)に書き直すことができます。 $$ \begin{align} \Xi = \sum\limits_{ n_{1} = 0 }^{ \infty }{ \sum\limits_{ n_{2} = 0 }^{ \infty }{ \cdots \sum\limits_{ n_{\cdots} = 0 }^{ \infty }{ \cdots \exp\left[ -\beta\sum\limits_{ r }{ \left(\varepsilon_{r} - \mu\right)n_{r} } \right] } } } \end{align} $$ さらに、指数関数の肩が \( r \) の和になっているので、指数関数そのものの \( r \) に関する積として書き直すことができます。 $$ \begin{align} \Xi &= \sum\limits_{ n_{1} = 0 }^{ \infty }{ \sum\limits_{ n_{2} = 0 }^{ \infty }{ \cdots \sum\limits_{ n_{\cdots} = 0 }^{ \infty }{ \cdots \exp\left[ -\beta\left(\varepsilon_{1} - \mu\right)n_{1} \right]\exp\left[ -\beta\left(\varepsilon_{2} - \mu\right)n_{2} \right]\cdots\exp\left[ -\beta\left(\varepsilon_{\cdots} - \mu\right)n_{\cdots} \right]\cdots } } } \\\\ &= \sum\limits_{ n_{1}=0 }^{ \infty }{ e^{-\beta\left( \varepsilon_{1} - \mu \right)n_{1}} \sum\limits_{ n_{2}=0 }^{ \infty }{ e^{-\beta\left( \varepsilon_{2} - \mu \right)n_{2}}\cdots } } \\\\ &= \prod\limits_{ r }{ \sum\limits_{ n_{r}=0 }^{ \infty }{ e^{-\beta\left( \varepsilon_{r} - \mu \right)n_{r}} } } \end{align} $$ \( n_{r} \) についての和を粒子の統計性に注意して計算しましょう。フェルミ粒子に対しては \( n_{r} = 0, 1 \) のみが許されるので、和は単に2項の足し算となります。 $$ \Xi = \prod\limits_{ r }{ \left( 1 + e^{-\beta\left( \varepsilon_{r} - \mu \right)} \right) } \tag{4} \label{fermipartial} $$ 粒子がボース粒子である場合、 \( n_{r} \) は0から無限大までの全ての整数を取り得ますが、和記号の中身の指数関数の肩が \( n_{r} \) に比例する形になっているので、和は初項1、公比 \( e^{-\beta\left( \varepsilon_{r} -\mu \right)} \) の無限等比級数です。したがって、 $$ \begin{align} \Xi = \prod\limits_{ r }{\frac{1}{1 - e^{-\beta\left( \varepsilon_{r} -\mu \right)}}} \tag{5} \label{bosepartial} \end{align} $$ \eqref{fermipartial}\eqref{bosepartial}をまとめて書けば、 $$ \begin{align} \Xi = \prod\limits_{ r }{ \left( 1 \pm e^{-\beta\left( \varepsilon_{r} -\mu \right)} \right)^{\pm 1} } \tag{6} \label{fermibosepartial} \end{align} $$ \( + \)：フェルミ、\( - \)：ボースです。熱力学関数と大分配関数の関係式を整理するところで、大分配関数には一般的に以下の関係式が成り立ちます。 $$ \begin{align} pV = k_{\rm{B}}T\ln{\Xi} \tag{7} \label{pVpartial} \end{align} $$ \( p, V \)はそれぞれ系の圧力、体積です。ヘルムホルツの自由エネルギー \( F \)、ギブズの自由エネルギー \( G \) について、熱力学の関係式 $$ \begin{align} pV = G - F = N\mu - F \tag{8} \label{pVF} \end{align} $$ が成り立つことを用いると、\( F \) は \( \Xi \) から次のように計算できます。 $$ \begin{align} F = N\mu - k_{\rm{B}}T\ln{\Xi} \tag{9} \label{Fpartial} \end{align} $$ 理想量子気体に対する熱力学量の計算式を導出する \eqref{Fpartial}に\eqref{fermibosepartial}を代入すると理想量子気体に対する \( F \) の表式を得ることができます（複号同順にフェルミ、ボース）。 $$ \begin{align} F = N\mu \mp k_{\rm{B}}T\sum\limits_{r}{\ln{\left( 1 \pm e^{-\beta\left( \varepsilon_{r} - \mu \right)} \right)}} \tag{10} \label{fenergy} \end{align} $$ ここで \( n_{r} \) の期待値 \( \left\langle n_{r} \right\rangle \) について見ていきましょう。グランドカノニカルアンサンブルに基づいて次のように計算できます。 $$ \begin{align} \left\langle n_{r} \right\rangle &= \frac{1}{\Xi}\sum\limits_{ N=0 }^{ \infty }{ \sum\limits_{ \eta }{ n_{r}\exp\left[ -\beta\left( E_{\eta} - \mu N \right) \right] } } \\ &= \frac{1}{\Xi} \sum\limits_{ n_{1}=0 }^{ \infty }{ \exp\left[ -\beta\left( \varepsilon_{1} -\mu \right)n_{1} \right] \sum\limits_{ n_{2}=0 }^{ \infty }{ \exp\left[ -\beta\left( \varepsilon_{2} -\mu \right)n_{2} \right] \cdots \sum\limits_{ n_{r}=0 }^{ \infty }{ n_{r}\exp\left[ -\beta\left( \varepsilon_{r} -\mu \right)n_{r} \right] \cdots } } } \end{align} $$ 一行目から二行目の式変形は大分配関数を計算したときと同様です。但し \( n_{r} \) の和の内容が違うことに気を付けてください。逆に言えば\( n_{r} \)の和の部分を除いて分子の表式は大分配関数と同じです。したがって、 $$ \begin{align} \left\langle n_{r} \right\rangle &= \frac{1}{\Xi} \frac{\Xi}{\sum\limits_{ n_{r}=0 }^{ \infty }{ \exp\left[ -\beta\left( \varepsilon_{r} - \mu \right)n_{r} \right] }} \sum\limits_{ n_{r}=0 }^{ \infty }{ n_{r}\exp\left[ -\beta\left( \varepsilon_{r} - \mu \right)n_{r} \right] } \\\\ &= \frac{ \sum\limits_{ n_{r}=0 }^{ \infty }{ n_{r}\exp\left[ -\beta\left( \varepsilon_{r} -\mu \right)n_{r} \right] } }{ \sum\limits_{ n_{r}=0 }^{ \infty }{ \exp\left[ -\beta\left( \varepsilon_{r} -\mu \right)n_{r} \right] } } \\\\ &= \frac{1}{\mu - \varepsilon_{r}} \frac{\partial}{\partial\beta} \ln{ \sum\limits_{ n_{r}=0 }^{ \infty }{ \exp\left[ -\beta\left( \varepsilon_{r} -\mu \right)n_{r} \right] } } \\\\ &= \frac{1}{\mu - \varepsilon_{r}} \frac{\partial}{\partial\beta} \ln{ \left( 1 \pm e^{-\beta\left( \varepsilon_{r} - \mu \right)} \right)^{\pm 1} } \\\\ &= \pm\frac{1}{\mu - \varepsilon_{r}} \frac{\partial}{\partial\beta} \ln{ \left( 1 \pm e^{-\beta\left( \varepsilon_{r} - \mu \right)} \right) } \\\\ &= \pm \frac{1}{\mu - \varepsilon_{r}} \frac{\pm e^{-\beta\left( \varepsilon_{r} - \mu \right)}\left( \mu - \varepsilon_{r} \right)}{1 \pm e^{-\beta\left( \varepsilon_{r} - \mu \right)}} \\\\ &= \frac{1}{e^{\beta\left( \varepsilon_{r} - \mu \right)} \pm 1} \tag{11} \label{nrave} \end{align} $$ 複号同順にフェルミ、ボースです。これはフェルミ、ボース分布関数です。フェルミ、ボース分布関数をそれぞれ $$ \begin{align} f_{\pm}\left( \varepsilon \right) &= \frac{ 1 }{ e^{\beta\varepsilon} \pm 1 } \tag{12} \label{fermibosefunc} \end{align} $$ と定義しておきます。\eqref{nrave}を用いると系の全エネルギー（内部エネルギー）\( E \) が計算できて、 $$ \begin{align} E &= \left\langle E_{\eta} \right\rangle \\ &= \sum\limits_{ r }{ \varepsilon_{r} \left\langle n_{r} \right\rangle } \\ &= \sum\limits_{ r }{ \varepsilon_{r} f_{\pm}\left( \varepsilon_{r} - \mu \right) } \tag{13} \label{eenergy} \end{align} $$ \eqref{fenergy}\eqref{eenergy}とヘルムホルツの自由エネルギーの定義から、エントロピー \( S \) は、 $$ \begin{align} S &= \frac{E - F}{T} \\\\ &= \frac{1}{T} \left( \sum\limits_{ r }{ \varepsilon_{r} f_{\pm}\left( \varepsilon_{r} - \mu \right) } - N\mu \pm k_{\rm{B}}T\sum\limits_{r}{\ln{\left( 1 \pm e^{-\beta\left( \varepsilon_{r} - \mu \right)} \right)}} \right) \tag{14} \label{entropy} \end{align} $$ 複号同順にフェルミ、ボースです。エントロピーは \( F \) の温度微分から求めることが多いですが、今回のような一般的な表式だと式の中に微分が残り、数値計算で使いづらいので、\eqref{entropy}のようにまとめました。尚、比熱は系の全エネルギーかエントロピーの温度差分から求めます。まとめ系の熱力学量を数値計算で求める際に必要となる表式を整理しました。要点となる表式を以下にまとめます。 $$ \begin{align} F &= N\mu \mp k_{\rm{B}}T\sum\limits_{r}{\ln{\left( 1 \pm e^{-\beta\left( \varepsilon_{r} - \mu \right)} \right)}} \\ E &= \sum\limits_{ r }{ \varepsilon_{r} f_{\pm}\left( \varepsilon_{r} - \mu \right) } \\ S &= \frac{1}{T} \left( \sum\limits_{ r }{ \varepsilon_{r} f_{\pm}\left( \varepsilon_{r} - \mu \right) } - N\mu \pm k_{\rm{B}}T\sum\limits_{r}{\ln{\left( 1 \pm e^{-\beta\left( \varepsilon_{r} - \mu \right)} \right)}} \right) \end{align} $$ 複号同順でフェルミ、ボース粒子に対する表式であり、\( f_{\pm} \) はフェルミ、ボース分布関数です。一粒子状態を \( r \) という一般的な形にして式をまとめています。実際に式を使う際には \( r \) を、得られている固有状態を指定する量子数の組（波数 \( {\boldsymbol{k}} \)、バンド指標 \( s \)、スピン \( \sigma \) 等）に置き換えてあげればよいです。また理想量子気体についての表式ですが、相互作用がある場合でも平均場近似等で一体近似してしまえば上記表式が使えます。

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お酒おいしい

妻が北海道に行ってきたのでサッポロビールを買ってきてくれました。今おいしく飲んでいます。おいしいのでついつい飲み過ぎてしまいますね。子供がいるのでいつ何があってもいいようお酒は控えていました。ですが今は安心してお酒を飲める状況にあるのでここぞとばかりに飲んでいます。幸せ。歳をとる毎にお酒が好きになっていく。呑んだくれがお届けしました。

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ジム行かなくてもよかったかも

気付き世の中は理不尽・不条理が普通であるという前提があるらしい。それに基づけば確かに、一見厳しいことをいう人が一番優しいということになる。読書本土を育てる　自然をよみがえらせる土壌革命 | ゲイブ・ブラウン読んだ範囲はじめにいちばんの師（1-25頁）内容土の健康に欠かせない5つの原則は以下の通り。 1. 土をかき乱さない機械的、化学的になるべくかき乱さない。土壌の構造や肥沃な土を作り出す土壌生物たちの棲家を壊さないようにするため。 2. 土を覆う土が覆いかぶさっている状態が自然では正常な状態。風や水による土壌流出を防ぎ、土壌生物のエサや棲家を作る効果がある。 3. 多様性を高める自然界に単一の品種のみが生えている場所は存在しない。多様な品種が存在することが普通である。 4. 土のなかに「生きた根」を保つ年間を通して根を保つことで土壌生物のエサとなる炭素が供給され、土壌生物が植物のエサとなる養分を作り出せる。 5. 動物を組み込む動物に植物を食べさせることで養分の循環が促進される。動物の呼吸を通して大気から多くの炭素を吸収し、地中に固定できるので、気候変動にも強い土壌となる。その他（備考、出来事）また少し時間が空きました。すみません。先日書いたように、体重が増えたので筋トレと有酸素運動を再開しました。以前までジムに通っていたのですけど、子供が生まれると通う余裕がないですね。3日前から3日おきに腕立て・背筋・スクワットと、毎日足上げ腹筋・20分のエアロバイク（心拍数は150～160を目安にキープする）を自宅でやり始めました。妻が昔買ったエアロバイクがあったのでちょうどよかった。有効活用させてもらいます。あと読書の項目に書いた本について。ビッグスワンで行われた昨シーズンのTSUTAYAサンクスデー（何の試合だったかは忘れました）で、アルビの選手・監督のおすすめの本が紹介されていました。「土を育てる」は松橋力蔵監督のおすすめの本として紹介されていた本です。組織の風土作りに通ずるものがありそうで、読んでいて参考になります。

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人間社会と物理学のアナロジー

「出る杭は打たれる」という言葉があります。才能や手腕のある人物は他人から憎まれ虐げられることをいう慣用句（検索して出てきたものを引用）ですが、これは「他の杭が打たれている」からこそ起きることであって、ほとんどの杭が出ていれば逆に、「打たれた杭は抜かれる」はずです。これは平均水準の高い集団に属せば個々のレベルが全体に引き上げられることに対応しますね。いずれにしてもエントロピーの増大を感じる話です。物理とのアナロジー関連で一つ。多電子系って人間の集団に似ていますよね。クーロンの反発力によってお互いを避けるように動いたり、同じ状態を二つ以上の電子が占有できなかったり等。多電子系の手法が社会学にも応用できたりしないのかなとよく思います。本日はそんな取り止めのない話でした。

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急がば回れ？

現在、投稿予定の記事があります。その中でまとめると記事の構成が複雑になってしまうので、別個一つの記事としてまとめてしまおうということで投稿したのが先程投稿した記事です。肝心の数値計算の記事が全然投稿できていませんが、そのうち投稿しますので・・・。ところで、先程の記事は大体1時間強で執筆しました。個人的にはもう少し速く書き上げたいところです。一番何に時間がかかっているかというと、数式の入力です。当サイトはMathJaxというJavaScriptのライブラリを組み込んでLaTeX形式で数式を入力・表示できるようにしてあるのですが、通常のLaTeXと微妙に書き方が違う。そのせいでエラーが頻発し、その修正作業に多くの時間がかかっています。数式の記述がもっと効率よくできればスムーズに投稿ができるはず。記事の投稿よりもいい感じの数式作成ツールを作ることを優先した方がいいのかもしれません。明日さっそく作ってみようかな…。それでは本日はこの辺で。

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個人HP開設！

2ヶ月半ほど当サイトを作り続け、やっと開設することができました！ここまで短かったようで長かった・・・。日記記事はこれから毎日書いていく予定です。毎日更新がしたいのと、文章を書かないと作文力が落ちていくので・・・もちろん興味がない方は日記以外の記事だけ読んでいただければと思います。私のことが知りたい方は当サイトの「自己紹介」を読んでください、いればですけど・・・。今後ともよろしくお願いします。それでは本日はこの辺で。

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React始めました

本日の気付きちょっとでも我慢するのは良くない。積み重なれば必ず限界が来るときが来る。本日の読書本 TypeScriptとReact/Next.jsでつくる実践Webアプリケーション開発 | 手島拓也、吉田健人、高林佳穂読んだ範囲 3 React/Next.jsの基礎（149-174頁）内容 sec/main.tsx内のcreateRoot関数に配置先となるHTMLElementを渡してrootオブジェクトを取得する。rootオブジェクトに対するrenderメソッドの引数に配置するreactコンポーネント/要素を渡すと、それらが画面に描画される。 src/components/[コンポーネント名].tsxにコンポーネント名と同じ名前の関数を宣言し、宣言した関数は外部から呼べるようにexportしてやる。関数内部ではreact要素をreturnするようにする。必要に応じて振る舞いを表す関数を関数ない関数として宣言する。その他 reactのプロジェクト、作れました。create-react-appではなく、viteでプロジェクトの作成をしたところ、問題なくできました。根本的な解決にはなってないかもしれないけれど...まあいいです。勉強していて、reactのことを好きになれそうです。こういうものが欲しかった、という感じ。HTMLとCSSの保守性の悪さを、コンポーネント指向という考え方及びそれを実現する技術によって解決しています。もっと早く出会いたかったかも。

pageview 107 3ヶ月前

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