急がば回れ？

現在、投稿予定の記事があります。その中でまとめると記事の構成が複雑になってしまうので、別個一つの記事としてまとめてしまおうということで投稿したのが先程投稿した記事です。肝心の数値計算の記事が全然投稿できていませんが、そのうち投稿しますので・・・。 ところで、先程の記事は大体1時間強で執筆しました。個人的にはもう少し速く書き上げたいところです。一番何に時間がかかっているかというと、数式の入力です。 当サイトはMathJaxというJavaScriptのライブラリを組み込んでLaTeX形式で数式を入力・表示できるようにしてあるのですが、通常のLaTeXと微妙に書き方が違う。そのせいでエラーが頻発し、その修正作業に多くの時間がかかっています。数式の記述がもっと効率よくできればスムーズに投稿ができるはず。記事の投稿よりもいい感じの数式作成ツールを作ることを優先した方がいいのかもしれません。明日さっそく作ってみようかな…。 それでは本日はこの辺で。

pageview 120 5ヶ月前

【フーリエ変換】粒子数演算子の実空間→波数表示

概要 粒子数演算子について、実空間→波数表示するときのフーリエ変換の計算についてまとめます。尚、整理する表式に軌道自由度は考慮されていません。 各種演算子の定義 粒子の生成消滅演算子 サイト（単位胞） \(i\) 、スピン \(\sigma\) の粒子に対する生成消滅演算子について、フーリエ変換を以下のように定義します。 $$ \begin{align} c_{i\sigma} &= \frac{1}{\sqrt{N}} \sum\limits_{ {\boldsymbol{k}} } { e^{i{\boldsymbol{k}} \cdot {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}}c_{{\boldsymbol{k}}\sigma} } \label{citock} \tag{1} \\ c_{i\sigma}^{\dagger} &= \frac{1}{\sqrt{N}} \sum\limits_{ {\boldsymbol{k}} } { e^{-i{\boldsymbol{k}} \cdot {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}}c_{{\boldsymbol{k}}\sigma}^{\dagger} } \label{cdagitocdagk} \tag{2} \\ \end{align} $$ ここで \({\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}\) はサイト \(i\) に対する結晶の基本並進ベクトル、\({\boldsymbol{k}}\) は結晶運動量（波数ベクトル）、\(N\) はサイトの数です。 粒子数演算子 サイト \(i\) 、スピン \(\sigma\) の粒子数演算子は以下のように与えられます。 $$ \begin{align} {\hat{n}}_{i\sigma} = c_{i\sigma}^{\dagger}c_{i\sigma} \label{ni} \tag{3} \end{align} $$ これのフーリエ変換を以下のように定義します。 $$ \begin{align} {\hat{n}}_{i\sigma} = \frac{1}{N} \sum\limits_{ {\boldsymbol{q}} } { e^{i{\boldsymbol{q} \cdot {\boldsymbol{R}}_{i}}}{\hat{n}}_{{\boldsymbol{q}}\sigma} } \label{nitonq} \tag{4} \end{align} $$ 計算の詳細 \eqref{ni}に\eqref{citock}\eqref{cdagitocdagk}を代入します。 $$ \begin{align} {\hat{n}}_{i\sigma} &= c_{i\sigma}^{\dagger}c_{i\sigma} \\\\ &= \frac{1}{\sqrt{N}} \sum\limits_{ {\boldsymbol{k}} } { e^{-i{\boldsymbol{k}} \cdot {\boldsymbol{R}}_{i}}c_{{\boldsymbol{k}}\sigma}^{\dagger} \frac{1}{\sqrt{N}} \sum\limits_{ {\boldsymbol{k'}} } { e^{i{\boldsymbol{k'}} \cdot {\boldsymbol{R}}_{i}}c_{{\boldsymbol{k'}}\sigma} } } \\\\ &= \frac{1}{N} \sum\limits_{ {\boldsymbol{kk'}} } { e^{i\left( {\boldsymbol{k'}} - {\boldsymbol{k}} \right) \cdot {\boldsymbol{R}}_{i}}c_{{\boldsymbol{k}}\sigma}^{\dagger}c_{{\boldsymbol{k'}}\sigma} } \label{fromhere} \tag{5} \end{align} $$ ここで波数ベクトルについて和を取る変数の変換 \({\boldsymbol{k'}} \rightarrow {\boldsymbol{k'}} + {\boldsymbol{q}}\)を行い、\({\boldsymbol{k'}}\) の代わりに全ての \({\boldsymbol{q}}\) について和を取るものとします。すると\eqref{fromhere}は、 $$ \begin{align} &\frac{1}{N} \sum\limits_{ {\boldsymbol{kk'}} } { e^{i\left( {\boldsymbol{k'}} - {\boldsymbol{k}} \right) \cdot {\boldsymbol{R}}_{i}}c_{{\boldsymbol{k}}\sigma}^{\dagger}c_{{\boldsymbol{k'}}\sigma} } \\ &= \frac{1}{N} \sum\limits_{ {\boldsymbol{kq}} } { e^{i{\boldsymbol{q}} \cdot {\boldsymbol{R}}_{i}}c_{{\boldsymbol{k}}\sigma}^{\dagger}c_{{\boldsymbol{k}} + {\boldsymbol{q}}\sigma} } \\ &= \frac{1}{N} \sum\limits_{{\boldsymbol{q}}} { e^{i{\boldsymbol{q}} \cdot {\boldsymbol{R}}_{i}} \sum\limits_{{\boldsymbol{k}}} { c_{{\boldsymbol{k}}\sigma}^{\dagger}c_{{\boldsymbol{k}} + {\boldsymbol{q}}\sigma} } } \label{comparedwithnitonq} \tag{6} \end{align} $$ \eqref{comparedwithnitonq}と\eqref{nitonq}を比較して以下を得ます。 $$ \begin{align} {\hat{n}}_{{\boldsymbol{q}}\sigma} = \sum\limits_{{\boldsymbol{k}}} { c_{{\boldsymbol{k}}\sigma}^{\dagger}c_{{\boldsymbol{k}} + {\boldsymbol{q}}\sigma} } \label{nq} \tag{7} \end{align} $$ まとめ 生成消滅演算子、粒子数演算子のフーリエ変換の定義に基づいて粒子数演算子の表式を導き、整理しました。

pageview 165 5ヶ月前

できることを少しずつ

今日は当サイトのサイトマップの作成（完全に失念していました）とGoogle Search Consoleへのサイトマップ登録及び当サイトのインデックス登録のリクエストを行いました。これでしばらくすれば検索エンジンに当サイトが引っかかるようになるはず…。毎日少しずつできることをやっていきます。 また、Xのアカウント（@y_iizuka_phys）を作成しました！記事の投稿のお知らせはこちらでしていきます。もしよろしければ記事を読んでみての感想等をリプライで頂けたら嬉しいです。 それでは本日はこの辺で。

pageview 91 6ヶ月前

個人HP開設！

2ヶ月半ほど当サイトを作り続け、やっと開設することができました！ここまで短かったようで長かった・・・。 日記記事はこれから毎日書いていく予定です。毎日更新がしたいのと、文章を書かないと作文力が落ちていくので・・・もちろん興味がない方は日記以外の記事だけ読んでいただければと思います。 私のことが知りたい方は当サイトの「自己紹介」を読んでください、いればですけど・・・。今後ともよろしくお願いします。 それでは本日はこの辺で。

pageview 114 6ヶ月前

【フーリエ変換】重なり積分項の実空間→波数表示

概要 一体ハミルトニアンの重なり積分項を実空間→波数表示する際の式変形の詳細がどの教科書にも載っていないように思えるのでまとめてみました。重要なことは、異なる2つのサイトの和を工夫して取ることです。大学院に上がりたてのM1の人を想定して記事を書いています。 背景と目的 一体ハミルトニアンの重なり積分項を、 $$ \begin{align} H &= \sum\limits_{ ij }{ t_{ij}c_{i}^{\dagger}c_{j} } \label{start} \tag{1} \\ &= \sum\limits_{ \boldsymbol{k} }{ t_{\boldsymbol{k}}c_{\boldsymbol{k}}^{\dagger}c_{\boldsymbol{k}} } \label{goal} \tag{2} \end{align} $$ のように実空間→波数表示する際の式変形の詳細が、意外とどの教科書にも書いていないように思えます。おかげでM1のときの私は非常に困りました。重なり積分項に留まらず、このような形の式変形は他でもよく出てくるので（例えばハイゼンベルグ模型等）是非押さえておきたいところです。 また上式のように、議論において本質的でない量子数（スピン等）は省略して書きます。 式変形の詳細 生成消滅演算子に対するフーリエ変換の定義 まずは生成消滅演算子のフーリエ変換を定義します。 $$ \begin{align} c_{i} &= \frac{1}{\sqrt{N}}\sum\limits_{\boldsymbol{k}}{ e^{i{\boldsymbol{k}}\cdot{\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}}c_{\boldsymbol{k}} } \label{c} \tag{3} \\ c_{i}^{\dagger} &= \frac{1}{\sqrt{N}}\sum\limits_{\boldsymbol{k}}{ e^{-i{\boldsymbol{k}}\cdot{\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}}c_{\boldsymbol{k}}^{\dagger} } \label{cdag} \tag{4} \end{align} $$ ここで\( {\boldsymbol{R}_{i}} \)はサイト（単位胞）\( i \)に対する結晶の基本並進ベクトル、\( \boldsymbol{k} \)は結晶運動量（波数ベクトル）、\( N \)は単位胞の数です。 重なり積分項へ代入 \eqref{start}へ\eqref{c}\eqref{cdag}を代入して計算していきます。 $$ \begin{align} H &= \sum\limits_{ij}{t_{ij}c_{i}^{\dagger}c_{j}} \\\\ &= \sum\limits_{ij}{t_{ij}\frac{1}{\sqrt{N}}\sum\limits_{\boldsymbol{k}}{{e^{ - i{\boldsymbol{k}} \cdot {{\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}}}}c_{\boldsymbol{k}}^{\dagger} } \frac{1}{\sqrt{N}}\sum\limits_{{\boldsymbol{k'}}}{{e^{i{\boldsymbol{k'}} \cdot {{\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}}}}}{c_{{\boldsymbol{k'}}}}} } \\\\ &= \frac{1}{N}\sum\limits_{{\boldsymbol{kk'}}}{\sum\limits_{ij}{{t_{ij}}{e^{ - i{\boldsymbol{k}} \cdot {{\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}}}}{e^{i{\boldsymbol{k'}} \cdot {{\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}}}}}c_{\boldsymbol{k}}^\dagger {c_{{\boldsymbol{k'}}}}} } \label{continue} \tag{5} \end{align} $$ ここまでは分かるけど…という感じですよね（少なくとも自分はそうでした）。ここから計算を進めるポイントは、サイトの和の取り方を工夫することです。 サイトの和の取り方を工夫してみる 今、サイトに関する和は\( i, j \)の2つについて取ることになっていますが、これは全ての\( {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}, {\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}} \)について和を取ることに等価です。先に結論を言うと、この\( {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}, {\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}} \)についての和を\( {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}, {\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}}-{\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}} \)の和に置き換えてあげると計算がうまくいきます（理由は後述）。図で示すと以下のようになります。 図1. 和の取り方の変更。 家の住所に例えます。隣合った家が2件あったとして、それぞれの住所をともに「○○県××市～」と書いて表現するのが\( {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}, {\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}} \)について和を取ること、一方の家の住所を「○○県××市～」と書いてもう一方の家の住所を「一方の家の隣」と表現するのが\( {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}, {\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}}-{\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}} \)について和を取ることに相当します。どちらも正しく家の場所を伝えられますよね。 何故計算がうまくいくか？ 上述したような和の取り方をすると何故計算がうまくいくのでしょうか？答えは重なり積分\( t_{ij} \)のサイト依存性にあります。実は、\( t_{ij} \)は\( {\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}}-{\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}} \)にのみ依存し、\( {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}, {\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}} \)そのものには依存しません。これは重なり積分の定義から次のように分かります。 $$ \begin{align} t_{ij} &= \int{d{\boldsymbol{r}} \phi^{*}\left( {\boldsymbol{r}} - {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}} \right) H \phi\left( {\boldsymbol{r}} - {\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}} \right)} \\ &= \int{d{\boldsymbol{r}} \phi^{*}\left( {\boldsymbol{r}}\right) H \phi\left( {\boldsymbol{r}} + {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}} - {\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}} \right)} \\ &\propto {\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}} - {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}} \end{align} $$ 1→2行目では積分変数の置換をしています。この性質を利用すると\( {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}} \)の和の外に\( t_{ij} \)を出すことができ、計算が進められるのです。 計算の続き 以上で書いた和の置き換えを\( \sum_{ij} \)→\( \sum_{i, i-j} \)と表現します。和を置き換えた上で指数関数の肩に\( {\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}}-{\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}} \)を作るような式変形をすることで\eqref{continue}の続きを計算しましょう。 $$ \begin{align} &\frac{1}{N}\sum\limits_{{\boldsymbol{kk'}}}{\sum\limits_{ij}{{t_{ij}}{e^{ - i{\boldsymbol{k}} \cdot {{\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}}}}{e^{i{\boldsymbol{k'}} \cdot {{\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}}}}}c_{\boldsymbol{k}}^\dagger {c_{{\boldsymbol{k'}}}}} } \\ &= \frac{1}{N}\sum\limits_{{\boldsymbol{kk'}}}{ \sum\limits_{i, i-j}{ e^{i{\boldsymbol{k}} \cdot {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}}e^{i{\boldsymbol{k'}} \cdot \left( {\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}} - {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}} \right)} }e^{i{\boldsymbol{k'}} \cdot {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}}c_{\boldsymbol{k}}^{\dagger}c_{\boldsymbol{k'}} } \\ &= \frac{1}{N}\sum\limits_{{\boldsymbol{kk'}}}{ \sum\limits_{i, i-j}{ e^{i{\boldsymbol{k'}} \cdot \left( {\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}} - {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}} \right)} }e^{i\left( {\boldsymbol{k'}} - {\boldsymbol{k}} \right) \cdot {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}}c_{\boldsymbol{k}}^{\dagger}c_{\boldsymbol{k'}} } \\ &= \sum\limits_{\boldsymbol{kk'}}{ c_{\boldsymbol{k}}^{\dagger}c_{\boldsymbol{k'}} \frac{1}{N}\sum\limits_{i}{ e^{i\left({\boldsymbol{k'}} - {\boldsymbol{k}}\right) \cdot {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}}\sum\limits_{i - j}{ t_{ij}e^{i{\boldsymbol{k'}} \cdot \left( {\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}} - {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}} \right)} } } } \\ &= \sum\limits_{\boldsymbol{kk'}}{ c_{\boldsymbol{k}}^{\dagger}c_{\boldsymbol{k'}} \delta\left( {\boldsymbol{k'}} - {\boldsymbol{k}} \right)\sum\limits_{i - j}{ t_{ij}e^{i{\boldsymbol{k'}} \cdot \left( {\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}} - {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}} \right)} } } \\ &= \sum\limits_{\boldsymbol{k}}{ t_{\boldsymbol{k}}c_{{\boldsymbol{k}}}^{\dagger}c_{{\boldsymbol{k}}} } \end{align} $$ 1→2行目では指数関数の肩が\({ \boldsymbol{R_{\mathit{j}}}} - {\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}} \)に比例する形になるように変形し、2→3行目ではその変形の辻褄を合わせるために生まれた因子を元々あった指数関数の因子とまとめて書いています。3→4行目では\( t_{ij} \)が\( {\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}} - {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}} \)だけの関数であることを利用して\( \sum_{i} \)の外に出しています。すると5行目のように\( i \)に依存する部分はデルタ関数となり、目的の式\eqref{goal}が得られます。ここで $$ \begin{align} t_{\boldsymbol{k}} = \sum\limits_{i - j}{ t_{ij}e^{-i{\boldsymbol{k}} \cdot \left( {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}} - {\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}} \right)} } \label{tk} \tag{6} \end{align} $$ です。 まとめ サイト\( i, j \)の和の取り方を工夫することが重要でした。具体的には、\( {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}, {\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}} \)についての和を\( {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}}, {\boldsymbol{R_{\mathit{j}}}} - {\boldsymbol{R_{\mathit{i}}}} \)についての和に置き換えることで計算がうまくいきます。

pageview 165 6ヶ月前